Kombinerad sannolikhet. M3n3 SoS
Lösningsförslag
Metod 1 (den sämre metoden)
När vi kastar två sexsidiga tärningar och vill veta sannolikheten att båda visar en siffra som är fem eller högre, letar vi efter de specifika kombinationer där varje tärning visar antingen en femma (5) eller en sexa (6). Vi ska nu gå igenom alla möjliga utfall som uppfyller detta kriterium.
För varje tärning finns det två gynnsamma utfall (5 eller 6). När vi kastar två tärningar samtidigt, multipliceras antalet möjliga utfall för den första tärningen med antalet möjliga utfall för den andra tärningen. Det betyder att det finns \(2 \times 2 = 4\) gynnsamma kombinationer för de två tärningarna. Dessa kombinationer är:
1. Första tärningen visar en 5, och den andra tärningen visar en 5.
2. Första tärningen visar en 5, och den andra tärningen visar en 6.
3. Första tärningen visar en 6, och den andra tärningen visar en 5.
4. Första tärningen visar en 6, och den andra tärningen visar en 6.
Så det finns totalt 4 gynnsamma utfall som uppfyller vårt kriterium.
För att räkna ut den totala sannolikheten, behöver vi veta det totala antalet möjliga utfall när vi kastar två sexsidiga tärningar. Eftersom varje tärning har 6 sidor och de är oberoende av varandra, finns det \(6 \times 6 = 36\) möjliga utfall totalt.
Därför är sannolikheten att båda tärningarna visar fem eller högre:
\[ P(\text{Båda ≥ 5}) = \frac{\text{Antal gynnsamma utfall}}{\text{Totalt antal möjliga utfall}} = \frac{4}{36} \]
Detta kan förenklas till:
\[ P(\text{Båda ≥ 5}) = \frac{1}{9} \]
Så, sannolikheten att båda tärningarna visar en siffra som är fem eller högre är \( \frac{1}{9} \), vilket bekräftar vår tidigare beräkning.
Metod 2 (den bättre metoden)
När du kastar två sexsidiga tärningar och vill att båda ska visa fem eller högre, är det möjliga utfallen för varje tärning en femma eller en sexa. Det finns alltså 2 gynnsamma utfall för varje tärning ur totalt 6 möjliga utfall (eftersom en tärning har sex sidor).
För att beräkna sannolikheten att båda tärningarna visar fem eller högre, multiplicerar vi sannolikheten för att detta sker med den ena tärningen med sannolikheten att det sker med den andra tärningen. Sannolikheten för ett gynnsamt utfall för en tärning är \( \frac{2}{6} \) eller förenklat \( \frac{1}{3} \).
Sannolikheten att båda tärningar visar fem eller högre är då:
\[ P(\text{Båda ≥ 5}) = P(\text{Tärning 1 ≥ 5}) \times P(\text{Tärning 2 ≥ 5}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} \]
Så, sannolikheten att båda tärningarna visar fem eller högre är \( \frac{1}{9} \).