Sannolikhet för kombinationer. M2n5 SoS
Lösningsförslag
a) Samma färg
För att dra två kulor av samma färg, kan vi titta på chanserna separat för röda och gröna kulor.
Röda kulor:
– Första dragningen: chansen att dra en röd kula är \( \frac{3}{10} \) eftersom det finns 3 röda kulor av totalt 10.
– Andra dragningen: efter att en röd kula dragits, återstår 2 röda kulor av totalt 9 kulor. Chansen att nu dra en annan röd kula är \( \frac{2}{9} \).
– Multiplicera dessa sannolikheter för att få sannolikheten att dra två röda kulor i rad: \( \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} \).
Gröna kulor:
– Första dragningen: chansen att dra en grön kula är \( \frac{7}{10} \) eftersom det finns 7 gröna kulor av totalt 10.
– Andra dragningen: efter att en grön kula dragits, återstår 6 gröna kulor av totalt 9 kulor. Chansen att nu dra en annan grön kula är \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \).
– Multiplicera dessa sannolikheter för att få sannolikheten att dra två gröna kulor i rad: \( \frac{7}{10} \times \frac{2}{3} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15} \).
För att få totala sannolikheten att dra två kulor av samma färg (antingen båda röda eller båda gröna), adderar vi sannolikheterna: \( \frac{1}{15} + \frac{7}{15} = \frac{8}{15} \).
b) Olika färger
För att dra två kulor med olika färger, är sannolikheten komplementet till att dra två kulor av samma färg, vilket vi redan har beräknat, alltså den återstående sannolikheten på \( \frac{15}{15} – \frac{8}{15} = \frac{7}{15} \).
Men vi kan också beräkna detta direkt:
– Om du först drar en röd kula (3 chanser av 10) och sedan en grön (7 chanser av 9), blir sannolikheten \( \frac{3}{10} \times \frac{7}{9} \).
– Alternativt, om du först drar en grön kula (7 chanser av 10) och sedan en röd (3 chanser av 9), blir sannolikheten \( \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} \).
– Addera dessa två för att få totala sannolikheten för olika färger: \( \frac{3}{10} \times \frac{7}{9} + \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90} + \frac{21}{90} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15} \).
Sammanfattningsvis är sannolikheten att dra två kulor av samma färg \( \frac{8}{15} \) och sannolikheten att dra två kulor av olika färger \( \frac{7}{15} \).