m3n5 alg
Ekvationssystem
Lösningsförslag
För att lösa dessa ekvationer använder vi balansmetoden. Låt oss börja med varje ekvation:
a) \( x^2 – 4 = 21 \)
1. Lägg till 4 på båda sidor för att isolera x²:
\[ x^2 = 25 \]
2. Ta kvadratroten på båda sidor (kom ihåg att vi får två lösningar, en positiv och en negativ):
\[ x = \pm 5 \]
Så lösningarna är \( x = 5 \) och \( x = -5 \).
____________________________________
b) \( \frac{12 + x}{x – 2} = 3 \)
1. Multiplicera båda sidor med \( x – 2 \) för att bli av med nämnaren:
\[ 12 + x = 3(x – 2) \]
2. Expandera höger sida:
\[ 12 + x = 3x – 6 \]
3. Flytta alla x-termer till en sida och konstanta termer till den andra:
\[ 12 + 6 = 3x – x \]
\[ 18 = 2x \]
4. Dividera med 2 för att lösa för \( x \):
\[ x = 9 \]
____________________________________
c) Ekvationssystem
(1) \( x + 3y = 11 \)
(2) \( 3x + 2y = 12 \)
Vi kan använda oss använda oss av substitutions- och eliminationsmetoden. Vi börjar med eliminationsmetoden:
Eliminationsmetoden
1. Multiplicera den första ekvationen med 3:
\[ 3x + 9y = 33 \]
2. Subtrahera den andra ekvationen från den första:
\[ (3x + 9y) – (3x + 2y) = 33 – 12 \]
\[ 7y = 21 \]
3. Lös för \( y \):
\[ y = 3 \]
4. Ersätt \( y \) i en av ekvationerna, säg ekvation (1):
\[ x + 3(3) = 11 \]
\[ x + 9 = 11 \]
\[ x = 2 \]
Så lösningarna är \( x = 2 \) och \( y = 3 \).
Substitutionsmetoden
För att lösa ekvationssystemet med substitutionsmetoden, börjar vi med att lösa en av ekvationerna för en av variablerna och sedan sätta in det uttrycket i den andra ekvationen. Låt oss använda ekvationssystemet:
(1) \( x + 3y = 11 \)
(2) \( 3x + 2y = 12 \)
Steg 1: Lösa en ekvation för en variabel
Låt oss lösa ekvation (1) för \( x \):
\[ x = 11 – 3y \]
Steg 2: Ersätt uttrycket i den andra ekvationen
Sätt nu in uttrycket \( 11 – 3y \) för \( x \) i ekvation (2):
\[ 3(11 – 3y) + 2y = 12 \]
Steg 3: Förenkla och lösa för \( y \)
Nu förenklar och löser vi ekvationen för \( y \):
\[ 33 – 9y + 2y = 12 \]
\[ 33 – 7y = 12 \]
Subtrahera 33 från båda sidor:
\[ -7y = -21 \]
Dividera med -7:
\[ y = 3 \]
Steg 4: Hitta \( x \)
Nu när vi vet att \( y = 3 \), sätter vi in detta värde i det uttryck vi löste ut för \( x \):
\[ x = 11 – 3y \]
\[ x = 11 – 3(3) \]
\[ x = 11 – 9 \]
\[ x = 2 \]
Lösning
Så, lösningarna till ekvationssystemet är \( x = 2 \) och \( y = 3 \), vilket stämmer överens med vår tidigare lösning med eliminationsmetoden.
____________________________________
d) Kontroll av lösning för c)
Ersätt \( x \) och \( y \) i båda ekvationerna:
1. I \( x + 3y = 11 \):
\[ 2 + 3(3) = 11 \]
\[ 2 + 9 = 11 \]
\[ 11 = 11 \] (stämmer)
2. I \( 3x + 2y = 12 \):
\[ 3(2) + 2(3)
= 12 \]
\[ 6 + 6 = 12 \]
\[ 12 = 12 \] (ok!)
Eftersom substitutionen stämmer överens i båda ekvationerna, är vår lösning korrekt: \( x = 2 \) och \( y = 3 \).
____________________________________
e: \( F = \frac{9}{5}C + 32 \)
För att lösa ut \( C \) från formeln \( F = \frac{9}{5}C + 32 \), följer vi dessa steg:
1. Subtrahera 32 från båda sidor för att isolera termerna med \( C \):
\[ F – 32 = \frac{9}{5}C \]
2. Multiplicera båda sidor med \( \frac{5}{9} \) för att lösa ut \( C \):
\[ C = \frac{5}{9}(F – 32) \]
Så, den omformulerade formeln med \( C \) uttryckt som en funktion av \( F \) är:
\[ C = \frac{5}{9}(F – 32) \]