M4n5 SoS
Lösningsförslag
När klassmentorn ska välja tre elever ut ur en klass på 10 elever för att planera en utflykt, och vi vill veta på hur många olika sätt detta kan göras, är vi intresserade av kombinationer snarare än permutationer. Detta beror på att det inte spelar någon roll i vilken ordning eleverna väljs; det viktiga är vilka tre som väljs.
Steg för steg:
1. Första valet: När klassmentorn väljer den första eleven, finns det 10 möjliga elever att välja mellan.
2. Andra valet: Efter att den första eleven har valts, återstår 9 elever att välja från för det andra valet.
3. Tredje valet: Slutligen, för det tredje valet, återstår 8 elever att välja mellan.
Om vi bara multiplicerar dessa siffror, \(10 \times 9 \times 8\), får vi antalet sätt att välja 3 elever om ordningen hade spelat roll (permutationer). Detta ger oss 720 olika sätt att ordna 3 elever i en sekvens, men eftersom ordningen inte spelar någon roll i detta fall, har vi räknat varje grupp av tre elever många gånger mer än vi borde.
Varför ordningen inte spelar roll:
När vi väljer tre elever, spelar det ingen roll om vi väljer elev A först, elev B andra, och elev C tredje, eller om vi väljer dem i någon annan ordning; gruppen bestående av A, B, och C är densamma oavsett. För varje grupp av tre elever har vi räknat 6 möjliga arrangemang (eftersom det finns \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\) sätt att arrangera tre objekt), vilket betyder att vårt initiala tal 720 överrepresenterar antalet unika grupper av tre.
Ordningen de väljs spelar ingen roll:
För att justera för detta, dividerar vi med antalet sätt att arrangera 3 elever (vilket är 6, som vi just beräknade), eftersom det för varje unik grupp av tre elever finns 6 arrangemang som vi inte vill räkna separat:
\[ \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120 \]
Detta ger oss 120 olika sätt att välja 3 elever, när vi inte bryr oss om i vilken ordning de väljs. Det är därför vi delar bort alla dessa ”extra” alternativ som bara representerar olika ordningar av samma grupp elever.
Sammanfattningsvis kan klassmentorn välja 3 elever ur en klass på 10 på 120 olika sätt, när ordningen de väljs på inte spelar någon roll.