m2n5 alg

Lösningsförslag

 

a) \( 6 – x(5 – x) + 4x(3x – 2) \)

För att förenkla uttrycket \( 6 – x(5 – x) + 4x(3x – 2) \), behöver vi först multiplicera ut parenteserna och sedan kombinera liknande termer. Så här gör vi det:

1. Multiplicera ut parenteserna:
– \( x(5 – x) \) blir \( 5x – x^2 \).
– \( 4x(3x – 2) \) blir \( 12x^2 – 8x \).

2. Ersätt dessa i det ursprungliga uttrycket:
\[ 6 – (5x – x^2) + (12x^2 – 8x) \]

3. Förenkla detta (kom ihåg att alla + blir – och – blir + när du tar bort ett minustecken framför en parantes):
\[ 6 – 5x + x^2 + 12x^2 – 8x \]

4. Kombinera liknande termer:
– Kombinera \( x^2 \) och \( 12x^2 \) till \( 13x^2 \).
– Kombinera \(-5x\) och \(-8x\) till \(-13x\).

Så det förenklade uttrycket blir:
\[ 13x^2 – 13x + 6 \]

_______________________________________________________

b) \( (2x – 3)^2 \)

Metod 1: Skriva ut och multiplicera parenteser

Här skriver vi först ut uttrycket som två separata parenteser och multiplicerar sedan varje term i den ena parentesen med varje term i den andra.

\[ (2x – 3)^2 = (2x – 3)(2x – 3) \]

Nu multiplicerar vi termerna:

1. \( 2x \times 2x = 4x^2 \)
2. \( 2x \times -3 = -6x \)
3. \( -3 \times 2x = -6x \)
4. \( -3 \times -3 = 9 \)

Lägg sedan ihop dessa:

\[ 4x^2 – 6x – 6x + 9 \]

Förenkla genom att kombinera liknande termer:

\[ 4x^2 – 12x + 9 \]

Metod 2: Använda kvadreringsreglerna

Kvadreringsreglerna säger att \( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \). Sätt in \( a = 2x \) och \( b = 3 \):

1. Kvadrera \( a \): \( (2x)^2 = 4x^2 \)
2. Multiplicera \( a \) och \( b \) och dubbla produkten: \( 2 \times 2x \times 3 = 12x \)
3. Kvadrera \( b \): \( 3^2 = 9 \)

Kombinera dessa:

\[ 4x^2 – 12x + 9 \]

_______________________________________________________

c) \( (2x + 3)(x – 4) \)

För att förenkla uttrycket \( (2x + 3)(x – 4) \), multiplicerar vi varje term i den första parentesen med varje term i den andra parentesen. Följande är stegen för att göra detta:

1. \( 2x \) multipliceras med \( x \):
\[ 2x \times x = 2x^2 \]

2. \( 2x \) multipliceras med \( -4 \):
\[ 2x \times -4 = -8x \]

3. \( 3 \) multipliceras med \( x \):
\[ 3 \times x = 3x \]

4. \( 3 \) multipliceras med \( -4 \):
\[ 3 \times -4 = -12 \]

Nu adderar vi ihop alla dessa termer:

\[ 2x^2 – 8x + 3x – 12 \]

Slutligen förenklar vi genom att kombinera liknande termer:

\[ 2x^2 – 5x – 12 \]

Så det förenklade uttrycket av \( (2x + 3)(x – 4) \) är \( 2x^2 – 5x – 12 \).

_______________________________________________________

d) \( (x + y)(x – y) \) 

För att förenkla uttrycket \( (x + y)(x – y) \) kan vi använda två metoder: genom att multiplicera ihop parenteserna och genom konjugatregeln. Låt oss titta på båda metoderna.

Metod 1: Multiplicera ihop parenteserna

Här multiplicerar vi varje term i den ena parentesen med varje term i den andra parentesen:

1. Multiplicera \( x \) med \( x \):
\[ x \times x = x^2 \]

2. Multiplicera \( x \) med \( -y \):
\[ x \times -y = -xy \]

3. Multiplicera \( y \) med \( x \):
\[ y \times x = yx \]
(Notera att \( yx \) är detsamma som \( xy \))

4. Multiplicera \( y \) med \( -y \):
\[ y \times -y = -y^2 \]

Kombinera dessa termer:

\[ x^2 – xy + yx – y^2 \]

Förenkla genom att kombinera liknande termer (observera att \( -xy \) och \( yx \) tar ut varandra):

\[ x^2 – y^2 \]

Metod 2: Konjugatregeln (Skillnaden av två kvadrater)

Konjugatregeln ger formeln  \( (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 \).

I det här fallet är \( a = x \) och \( b = y \). Så vi använder formeln:

\[ (x + y)(x – y) = x^2 – y^2 \]

Detta ger oss direkt det förenklade uttrycket \( x^2 – y^2 \) utan att behöva multiplicera varje term för sig.

Båda metoderna ger samma resultat, \( x^2 – y^2 \), vilket bekräftar att uttrycket \( (x + y)(x – y) \) förenklas till \( x^2 – y^2 \) enligt både den direkta multiplikationsmetoden och konjugatregeln.

_______________________________________________________

e) \( 15xy + 27x^2y \)

För att bryta ut den största möjliga faktorn i uttrycket \( 15xy + 27x^2y \), börjar vi med att identifiera den största gemensamma faktorn för de två termerna. Vi tittar på både koefficienterna och variablerna.

1. Koefficienterna är 15 och 27. Den största gemensamma faktorn för 15 och 27 är 3.

2. Variablerna är \( xy \) och \( x^2y \). Den gemensamma faktorn här är \( xy \), eftersom det är den högsta potensen av \( x \) och \( y \) som finns i båda termerna.

Så den största gemensamma faktorn för hela uttrycket är \( 3xy \).

Nu delar vi varje term i uttrycket med \( 3xy \):

– \( 15xy \div 3xy = 5 \)
– \( 27x^2y \div 3xy = 9x \)

Så när vi bryter ut \( 3xy \), blir uttrycket:

\[ 3xy(5 + 9x) \]

Detta är uttrycket \( 15xy + 27x^2y \) med den största möjliga faktorn utbruten.

Övningsuppgifter